Ejercicio 1 Actividad 2

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

FRACTALES

FRACTALES

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.

Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.

AUTOSIMILITUD

Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.

Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

Autosimilitud exacta. este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).

Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasi-auto. similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.
Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos preguntarnos cómo densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo contiene. Los números que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son:

La dimensión fractal. Las fórmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadrícula que contiene parte del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensión fractal de objetos reales: líneas de la costa (1.2), nubes, árboles, etc, Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos matemáticos.

La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tiene una definición más compleja que la de dimensión fractal. Su definición no suele usarse para comparar conjuntos del mundo real.

Intentos de definición rigurosa

El concepto de fractal no dispone en el año 2008 de una definición matemática precisa y de aceptación general. Intentos parciales de dar una definición fueron realizados por:

B. Mandelbrot, que en 1982 definió fractal como un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica. Él mismo reconoció que su definición no era lo suficientemente general.

D. Sullivan, que definió matemáticamente una de las categorías de fractales con su definición de conjunto cuasi autosimilar que hacía uso del concepto de cuasi-isometría.

Dimensión fractal

Puede definirse en términos del mínimo número N(\epsilon) de bolas de radio \epsilon necesarias para recubrir el conjunto, como el límite:

O en función del recuento del número de cajas N_n de una cuadrícula de anchura 1/2^n que intersecan al conjunto:

Se demuestra que ambas definiciones son equivalentes, y que son invariantes bajo isometrías.

Dimensión de Hausdorff-Besicovitch

De una definición más compleja, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch nos proporciona un número DH(A), también invariante bajo isometrías, cuya relación con la dimensión fractal DF(A) es la siguiente:

0<_DH(A) <_DF(A)

Esto permite distinguir en algunos casos entre conjuntos con la misma dimensión fractal.

Aplicaciones

Se han utilizado técnicas de fractales en la compresión de datos y en diversas disciplinas científicas.

Compresión de imágenes.

omprimir la imagen de un objeto autosemejante como el helecho de la figura no es difícil: haciendo uso del teorema del collage, debemos encontrar un IFS, conjunto de transformaciones que lleva la figura completa (en negro) en cada una de sus partes autosemejantes (rojo, azul celeste y azul marino). La información sobre la imagen quedará codificada en el IFS, y la aplicación reiterada de dichas transformaciones permite obtener la imagen procesada en cuestión.

Pero el enfoque anterior plantea problemas con muchas imágenes reales: no esperamos, por ejemplo, que la imagen de un gato presenta pequeños gatitos distorsionados sobre sí mismo. Para solventarlo, en 1989 Arnaud Jacquin creó el esquema de sistemas de funciones iteradas particionadas: en él se subdivide la imagen mediante una partición y para cada región resultante se busca otra región similar a la primera bajo las transformaciones apropiadas.

El esquema resultante es un sistema de compresión con pérdidas, de tiempo asimétrico. Lamentablemente aún se tarda mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen. No obstante, una vez encontradas, la descodificación es muy rápida. La compresión, aunque dependa de muchos factores, suele ser equiparable a la compresión JPEG, con lo cual el factor tiempo resulta determinante para decantarse por uno u otro sistema.

Modelado de formas naturales   


Las formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que solo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio), como las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja).

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS IMAGINARIOS

NÚMEROS IMAGINARIOS

Un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo: 5i\  es un número imaginario, así como i\  o  -i\ son también números imaginarios. En otras palabras, es un número de la forma:

Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1 :

Todo número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad.

i2=-1

puesto entonces:

(bi)2=-b2

Que es un número real.

Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

a+bi

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

Del mismo modo, partiendo de:

raíz de -1=i

la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resultado un número imaginario, así por ejemplo:

Estos números extienden el conjunto de los números reales \R al conjunto de los números complejos \mathbb{C}.

Por otro lado, no podemos asumir que los números imaginarios tienen la propiedad, al igual que los números reales, de poder ser ordenados de acuerdo a su valor.[5] Es decir, es justo decir que 1>0, y que -1<0. Esta regla no aplica a los números imaginarios, debido a una simple demostración:

Recordemos que en los números reales, el producto de dos números reales, supónganse a y b, donde ambos son mayores que cero, es igual a un número mayor que cero. Por ejemplo es justo decir que a = 2 > 0, b = 3 > 0, por lo tanto, (a)(b)=c > 0, entonces tenemos que (2)(3) = 6, y obviamente 6>0.

Por otro lado, supóngase que i > 0, entonces tenemos que -1 = (i)(i) > 0, lo cual evidentemente es falso.

Y de igual manera, hagamos la errónea suposición de que i < 0, pero si multiplicamos por -1 nos queda que -i > 0. Por lo tanto tenemos que -1 = (-i)(-i) > 0. Lo que es, igualmente que la suposición anterior, totalmente falso.

Concluimos que esta suposición y cualquier otra de intentar dar un valor ordinal a los números imaginarios es completamente falsa.

DIFERENCIA ENTRE NÚMEROS REALES Y RACIONALES

DIFERENCIA ENTRE PROPIEDADES DE NÚMEROS REALES Y RACIONALES

Números reales

Los números reales comprenden tanto a los números racionales como también a los irracionales. El sistema de números reales puede ser dividido en muchos subconjuntos.

Un número real se refiere a cualquier número que puede encontrarse en una recta numérica. La recta numérica puede definirse como una línea geométrica donde se traza un punto de origen. Los puntos que se encuentran en el lado derecho del origen son considerados como números positivos, mientras que los números en el lado izquierdo del origen se consideran negativos. El infinito no cae en la categoría de número real. La raíz cuadrada de -1 no es un número real, por lo tanto se le considera como un número imaginario.

Número racional

Un número racional es un número que está determinado por una relación que se define como (p/q), donde p representa algún entero y q un número natural distinto de cero.

Estos números constituyen un subconjunto de los números reales. Por otro lado, los números reales que no puede ser expresados como el cociente de dos enteros se denominan números irracionales.

Diferencias clave entre número racional y número real

Los números reales pueden ser racionales o irracional y pueden tomar cualquier valor expresado en una recta numérica; mientras que los números racionales son los que pueden expresarse en forma de fracción, pero con un denominador distinto de cero.
Los números reales incluyen (pero no se limitan): números positivos, negativos, enteros, racionales, raíces cuadradas, raíces cúbicas…
Los números racionales incluyen: 3/4 como una forma de fracción. Raíz cuadrada de 16, que sería 4 y podría expresarse como 4/1. Las repeticiones de decimales son racionales, ejemplo: 0.777777.

PROPIEDADED DE NÚMEROS IRRACIONALES

PROPIEDADES DE NÚMEROS IRRACIONALES.

Además de ser un número decimal infinito no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:
Propiedad conmutativa: al sumar o multiplicar números irracionales también se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π + ϕ = ϕ + π; así como en la multiplicación, π × ϕ=ϕ × π.
Propiedad asociativa: los números irracionales pueden distribuirse o agruparse de distinta manera entre sí y el resultado  será el mismo. Por ejemplo, en la suma, será  (ϕ + π) +e = ϕ + (π + e); y de la misma manera en la multiplicación, (ϕ × π) × e = ϕ × (π × e).
Propiedad cerrada: es decir que el resultado de la suma, resta, multiplicación, división o potenciación de un número irracional, siempre será un número irracional. Sin embargo, la propiedad cerrada no se cumple en el caso de la radicación.
Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales; es decir que para cada número existe su negativo que lo anula, por ejemplo π – π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ × 1/ϕ = 1.

La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3 + 2) π = 3π + 2π = 5π.
Números irracionales famosos
Existen números irracionales determinados que son utilizados en diferentes ramas, para operaciones específicas, algunos de ellos son:
Pi, cuyo símbolo es π, es el más conocido de los números irracionales, y se utiliza en su mayoría para matemáticas, física e ingeniería.
Su valor está dado por el cociente (la división) entre la longitud o perímetro de la circunferencia (como dividendo)  y la longitud de su diámetro (como divisor).
De él se han calculado millones de cifras decimales y hasta ahora no ha sido posible encontrar algún patrón ni menos su término.
La aproximación de su número es 3,141592653589... y por lo general se usa 3,1416.
e es otro número irracional famoso, utilizado en cálculo más que nada, es llamado también número de Euler, y de él también se han calculado infinidad de decimales sin llegar a encontrar una repetición periódica.

Sus primeros decimales son 2,718281828459…

El número áureo o razón de oro, representado con la letra griega ϕ o phi también es muy utilizado por muchos artistas, en especial se lo conoce por las proporciones corporales usadas por Leonardo da Vinci, cuya aproximación es 1,618033988749…
Aparte de los ya mencionados números irracionales, ya habíamos hablado de √2 o raíz cuadrada de 2 que resulta de una ecuación algebraica, pero también están otras raíces.

DIFERENCIA ENTRE PROPIEDADES DE NUMEROS ENTEROS Y RACIONALES

Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).

En sentido amplio se llama número racional o fracción común a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero; el término "racional" alude a "ración" o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional, para no confundir este término con un atributo del pensamiento humano.

Un número natural es cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.

Comúnmente conocido como fracción, el quebrado o número fraccionario es el que expresa 1 o más partes iguales de la unidad central. Según la cantidad en la que se divide la unidad, ésta va cambiando de nombre. Por ejemplo si está dividida en 2 se le llama medios, en 3 tercios, 4 cuartos, 5 quintos, 6 sextos, 7 séptimos, 8 octavos, 9 novenos, 10 décimos, etc…Sus términos la fracción está compuesta por 2 términos básicos, el numerador y el denominador. El numerador menciona en cuantas partes se ha dividido la unidad, mientras el denominador indica cuantas partes se toman de la unidad.

DIFERENCIA ENTRE NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS

NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS

Números naturales

Los números naturales son simplemente 0, 1, 2, 3, 4, 5, … (y así sigue) aunque según a quien preguntes, el cero es o no un número natural, así que te pueden decir que los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5, …

Números de contar
Los números de contar son los números naturales, normalmente sin el cero. Porque no se puede "contar" cero. Así que son 1, 2, 3, 4, 5, … (y eso).

Enteros
Los enteros son como los naturales, pero se incluyen los números negativos ... ¡también sin fracciones!

Confuso
Más o menos todo el mundo está de acuerdo en que los números naturales no incluyen a los negativos, si no serían como los enteros. Pero hay gente que dice que el cero NO es natural, y hay otra gente que dice que sí. ¡Ya ves que no todos están de acuerdo en algo tan fácil!

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NATURALES

ROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NATURALES

Los números naturales poseen una serie de propiedades:

1. Los números naturales están contenidos en un conjunto de forma ordenada, con lo cual, estos números tienen una relación en cuanto al valor de cada cifra se refiere, de tal forma que, siendo a el número primero más pequeño y b, otro de mayor valor se cumple que: a≤b. Esta relación se cumple solamente si existe otro número natural c tal que: a+c=b.

El conjunto de los números naturales tiene un elemento mínimo, de lo cual se deduce que no es un conjunto vacío, y por tanto, está totalmente ordenado, puesto que siempre existe un número natural que cumple la relación de a≤b. En conclusión:

a) Para cualquier elemento a de un conjunto A existe otro elemento b en A tal que a<b
b) Cualquier subconjunto no vacío de A posee un elemento mínimo.

Luego encontramos otras propiedades referidas a la adición y multiplicación:

a)Operación interna: La suma de dos números naturales es siempre otro número natural.

Existencia del elemento neutro: Un número natural tal que al ser sumado o multiplicado a otro número natural da ese mismo número.

c) Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado.
a + b= b+ a
a x b=b x a

d) Propiedad asociativa:

(3 +5) +2 =8 +2 = 10
3 + (5+2) = 3 + 7=10
3 x (4 x5) = 3 x 20 =60
(3×4)x5= 12×5= 60

SISTEMAS DE NUMERACIÓN NO POSICIONALES

Números Complejos

Activity 3 de moivre theorem from Matematica de Samos

ORIGEN DE LOS NÚMEROS

INTRODUCCIÓN

El hombre suele aprender por sí solo, solía ser independiente, ahora por desgracia es dependiente a todo, no le gusta investigar por sí mismo, le gusta tener todo a la mano. Por qué no ser como antes por qué no ser AUTONOMOS.

ORIGEN DE LOS NÚMEROS

Desde los tiempos primitivos, el hombre ha sentido la necesidad de contar, ya fuera sus piezas de caza, sus utensilios o el número de miembros de su tribu. En este sentido cabe tal vez interpretar algunos vestigios antropológicos singulares, como las muescas ordenadas que aparecen incisas en algunas paredes rocosas o en los útiles prehistóricos.

Sistemas de numeración de las primeras civilizaciones

Desde el Neolítico, los sistemas de cómputo y numeración se fueron complicando y enriqueciendo progresivamente. Las grandes civilizaciones de la Antigüedad se distinguieron por un importante desarrollo de la aritmética y la geometría, que desembocó en la creación de sistemas de numeración sistemáticos. Así, por ejemplo:

· Los primeros signos numéricos egipcios conocidos datan de hace unos 7.000 años. Su método se basaba en agrupar los elementos de diez en diez, y asignar a cada grupo de diez un símbolos diferentes.

· Los babilonios utilizaban, hacia el año 1700 a. C., un sistema de numeración de base 60, enormemente complicado por la cantidad de numerales que consideraba.

·La civilización grecolatina utilizó las letras del alfabeto como signos numerales. Su sistema de numeración contaba de diez en diez.

·  En América, la cultura maya usaba desde el siglo IV d. C. un sistema de numeración de base 20, en el que, por primera vez en la historia, se utilizó la noción de número cero.

· En la India, se desarrolló un sistema de representación de números del que deriva el actual, que fue transmitido a Occidente a través de los árabes.

La numeración romana

El Imperio romano difundió en toda Europa, norte de África y Asia occidental su propio sistema de numeración, que todavía se utiliza en algunos contextos especiales. Este sistema, de base decimal, utiliza letras como símbolos de varias unidades elementales (I para 1;V para 5; X para 10; L para 50; C para 100; D para 500 y M para 1.000).

El sistema romano resultaba muy práctico para realizar sumas y restas, aunque no multiplicaciones y divisiones. Por ello, aun cuando se conserva para indicar ciertas cantidades (por ejemplo, años), desde el Renacimiento fue desplazado por el sistema indo-arábigo.

Símbolos indo-arábigos                           

La notación numérica usada universalmente en la actualidad procede de sistemas de numeración hindúes ya existentes hacia el siglo VI d. C. Estos sistemas ofrecían respecto de los utilizados en Europa dos ventajas sustanciales:

· El concepto del número 0, que, aunque probablemente fue importado de las culturas mesopotámicas, se integró por primera vez en un sistema decimal junto con las otras nueve cifras del sistema. (La noción del cero había sido también desarrollada en América por la cultura maya.)

· La asignación de un valor posicional a cada cifra, de manera que un mismo guarismo tenía un valor diferente según su posición global en la expresión de la cantidad numérica.

Este sistema fue adoptado por los árabes antes del siglo IX, y popularizado por los escritos de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (h. 780-h. 850), autor del primer manual de aritmética inspirado en el sistema decimal posicional.

En el siglo XIII, las traducciones al latín de las obras de los matemáticos árabes hicieron posible que los sabios escolásticos medievales conocieran los principios del sistema numeral posicional. No obstante, fue el italiano Leonardo de Pisa quien, en su obra Liber abaci (1202), ofreció una exposición de las cifras hindúes en la que se sitúa el origen del sistema moderno de numeración.

El lenguaje universal de los números

Con respecto al sistema romano, el indo-arábigo proporciona indudables ventajas en el plano práctico y conceptual:

·  Se crea a partir de una notación sencilla, basada en el uso de diez guarismos, entre los que se incluye el cero, y conceptualmente rica, por la idea del valor posicional de los numerales.

·  Permite simplificar de forma muy notable las operaciones aritméticas de multiplicación y división, sin complicar las de suma y resta.

·    Resulta adecuado para los desarrollos de la matemática moderna.

Por todo ello, el sistema indo-arábigo se ha impuesto progresivamente en todas las culturas del mundo, hasta el punto de que en la actualidad constituye un lenguaje escrito universal comprendido por todos los seres humanos, que utiliza una misma grafía incluso en idiomas cuyos alfabetos son diferentes (latino, cirílico, alfabetos orientales, etcétera).

¿Por qué el alumno no entiende?

Si sigues creyendo que los profesores sólo sirven para hablar mientras tu escuchas y finges que escuchas, déjame decirte que eres una persona mediocre. Los alumnos estamos para hacer las cosas por nosotros mismos. 

La Historia de los Números

Ensayo de la Ley de Titius-Bode

Johannes Kepler. Serie Cosmos de Carl Sagan

Bode's law: Real numbers and scientific notation from Matematica de Samos